Геометрия музыки

Композитор и исследователь музыки из Принстонского университета Дмитрий Тимошко (Dmitri Tymoczko) и его коллеги опубликовали в журнале Science статью, описывающую метод геометрического представления музыкальных объектов и операций над ними.

Метод позволяет визуализировать музыку, математически исследовать родство между музыкальными произведениями, по-новому взглянуть на проблемы теории музыки и даже, возможно, привести к созданию новых музыкальных инструментов.

Основная идея исследователей заключается в том, что для анализа музыки необходимо уметь игнорировать информацию: отождествлять различные музыкальные объекты. Под музыкальным объектом они понимают последовательность нот, воспроизведенную одним или несколькими инструментами (далее в тексте заметки – аккорд).

Многие аккорды, кажущиеся различными, музыканты на самом деле считают одинаковыми, то есть объединяют в класс эквивалентности. Для объединения используется пять трансформаций: сдвиг на октаву (octave shift, O) – одна из нот аккорда сдвигается на октаву; перестановка (permutation, P) – изменяется порядок нот в аккорде; транспонирование (transposition, T) – все ноты аккорда сдвигаются в одном направлении на одно и то же расстояние; инверсия (inversion, I) – аккорд переворачивается "вверх дном", изменение количества (cardinality, C) – изменяется количество вхождений ноты в аккорд. Если один аккорд может быть получен из другого любым сочетанием этих трансформаций (совокупно называемых OPTIC), между ними есть отношение эквивалентности (они считаются одним объектом). Всего отношений эквивалентности 25 – 32.

Исследователи представляют аккорд как точку в геометрическом пространстве, а затем используют отношения эквивалентности для преобразований пространства. Получающиеся наглядные изображения, по их мнению, представляют удобный инструмент для сравнительного анализа произведений и поиска новых музыкальных решений.